вычсиление угола между гранями

[lesage3]

Не поможет ли кто-нибудь решить такую задачку по кристаллографии.

Задано, что кристалл относится к тетрагональной сингонии.
Параметры элементарной ячейки (a и c) известны.
Требуется найти угол между плоскостями (h1 k1 l1) и (h2 k2 l2).

В минералогии для обозначения граней используются индексы Миллера?

[nekto]

Да.

[lesage3]

Просьба найти ошибку в нижеследующих рассуждениях.

Пусть имется плоскость с миллеровскими индексами (h k l).

Значит, эта плоскость отсекает (в единицах элементарной ячейки)
отрезки на осях 1/h, 1/k, 1/l.

Ограничимся случаем, когда все углы в элементарной ячейке -
прямые, а размеры элементарной ячейки - a, b, c.

Тогда плоскость (h k l) отсечёт на осях отрезки
p=a/h, q=b/k, r=c/l.

Уравнение плоскости, отсекающее на осях отрезки p,q,r, записывается так:
x/p + y/q + z/r = 1

или
q*r*x + p*r*y + p*q*z - q*p*l = 0

Значит, уравнение нормали к этой плоскости будет
n = q*r*x + p*r*y + p*q*z
(где p=a/h, q=b/k, r=c/l)

[tiefe]

Я, конечно, не кристаллограф, но выскажу одно соображение. Если наша сингония — тетрагональная, то мы имеем декартову (то бишь прямоугольную) систему координат в пространстве. И имеем две плоскости, для которых заданы индексы Миллера, следовательно, имеем для каждой плоскости 3 точки, значит, обе плоскости легко и однозначно задаются в виде уравнений, поэтому можно легко определить угол между ними. Вопрос: зачем тогда вообще нужны a и c?

[lesage3]

Я тоже не кристаллограф.
Мне кажется, что значения a и c - нужны, потому что a не равно c.

Наверное, для решения данной задачи значение a=b=c не нужно в кубической сингонии

Вообще-то, конечно, хотелось бы получить решение для произвольной сингонии, но для начала - хотя бы
для сингоний со всеми прямыми углами (кубической, тетрагональной и ромбической).

Расчёт по приведённом мною уравнению даёт странные результаты.
Кроме того, неясно, что делать, когда один или два индекса равны нулю.

[tiefe]

Да по идее эти a, b и c и соотношения между ними вообще не нужны, раз у нас есть готовые уравнения плоскостей. Критично тут именно то, что система декартова, то есть все углы прямые. Для недекартовых систем (в случае низших сингоний) нужно пересчитывать эти уравнения с учётом непрямых углов, но даже и тогда конкретные параметры элементарной ячейки ни к чему. В случае нулевых индексов Миллера ситуация с точки зрения математики даже упрощается. Тут интереснее, на мой взгляд, вопрос о том, что делать, если над индексами стоит надчёркивание.

А зачем вы ищете нормаль? Вот есть декартова система и есть две плоскости, заданные тремя точками. Угол между ними легко вычислим.

[lesage3]

Если известны нормали к плоскостям, то угол между ними вычисляется по стандартной формуле
(скалярное умножениме векторов).
Вопрос в том, чтобы правильно из индексов Миллера (h k l) для заданной плоскости вычислить нормаль к этой плоскости
(т.е. получить обычное уравнение плоскости, используемое в аналитической геометрии - ax+by+cz+d=0).

Хотелось бы получить значение угла для кристалла тетрагональной сингонии с параметрами
элементарной ячейки a=4.796 A, c=7.626 A между плоскостью (1 1 0) и плоскостями (1 1 2), (1 1 3),
(2 2 3), (3 3 1), (3 3 2) и сравнить это значение с полученными мною.

[tiefe]

Кажется, дошло. Из тетрагональной сингонии следует, что система декартова (это очень хорошо ;) и что a = b. Но единичные отрезки на осях не эквивалентны; из заданных параметров элементарной ячейки следует, что если единичные отрезки на осях a и b взять равными условной единице, то по оси c единичный отрезок будет примерно 1,59 (=7,626/4,796). Значит, плоскость (110) проходит через точки (1, 0, 0) и (0, 1, 0) параллельно оси c, а плоскость (112) проходит через точки (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 3.18). Это в пересчёте на декартову систему со всеми равными единичными отрезками, потому что для неё все формулы самые простые. Уравнение первой плоскости в такой системе будет выглядеть как a + b – 1 = 0, а второй 3,18a + 3,18b + c – 3,18 = 0. Косинус угла между такими плоскостями примерно равен ±0,976 (плюс-минус потому что можно выбрать любой из двугранных углов). Если выберем меньший, то он окажется равным примерно 12,54°. А вы как рассуждали?

[lesage3]

Мои рассуждения я описал в ответе #2 в этой теме.
У меня получается значение угла 48.35 градуса.

Мне кажется, что если верно, что в минералогии используются индексы Миллера, то
плоскость (1 1 2) должна вроде бы отсекать на осях отрезки (1/1 1/1 1,59*1/2).

Мне про плоскость (1 1 0) непонятно. Она должна отсекать на осях отрезки
(1/1 1/1 1/0 ), т.е. (1 1 бесконечность). А она отсекает отрезки (1 1 0).
Т.е. и в обратном пространстве - (1 1 0), и в обычном - (1 1 0), т.е.
у минералогов ноль равен бесконечности?

[kaftanatij]

Ессли индекс равен нулю, то плоскость паралельна оси и не отсекает на ней никаких отрезков.